Saturday, 3 March 2012

"போதையனார் தேற்றம்" எனும் மாயை

சமீப நாட்களாக இணையத்தில் உலாவரும் தமிழின் பெருமைகளைப் பேசும் மின்னஞ்சல்களில்/பதிவுகளில் ஒன்று "போதையனார் தேற்றம்" பற்றியது. "போதையனார் தேற்றத்தின்" சிறப்பம்சம் வர்க்கமூலம்(√) இல்லாமலேயே செம்பக்கத்தினை/கர்ணத்தினை கணிக்க முடிகின்றது என நீளுகின்றது அத்தகவல். ஆனால், இங்கே தமிழ் மொழியின் மீதான பற்றினைப் பயன்படுத்தித் தவறான அல்லது மிகைப்படுத்தப்பட்ட தகவல் வழங்கப்படுகின்றது என்பதே உண்மை.

இந்த தகவலின் உண்மைத் தன்மையை அறிய கவனிக்கப்பட வேண்டியவை வருமாறு:
1. இங்கே கணிதவியலின் தர்க்க ரீதியிலான நிறுவுதல்கள் எதுவுமின்றி "தேற்றம்" என்று ஒன்று சொல்லப்படுகின்றது. அடிப்படையில் இங்கே குறிப்பிடப்படும் "தேற்றம்" எனும் சொல், அதன் அர்த்தத்தத்தினை இழந்து நிற்கின்றது.
2. உதாரணம் ஒன்றினை மட்டும் அடிப்படையாக வைத்து எந்த கணித சமன்பாட்டினையும்/கூற்றினையும் தேற்றம் என்று கூற முடியாது.
3. ஒரு தேற்றமானது சகல பொருத்தமான தரவுகளிட்கும் உண்மையாக இருத்தல் வேண்டும்.


இப்போது "போதையனார் தேற்றம்" என்ன சொல்ல விளைகின்றது என்று பார்ப்போம்.

"ஓடும் நீளம் தனை ஒரே எட்டுக்
கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்
தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்
வருவது கர்ணம் தானே"

இதற்குக் கொடுக்கப்படும் பொழிப்புரை வருமாறு:
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில்:
கர்ணம் = செம்பக்கம் (செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்திட்கு எதிர அமைந்துள்ள மிக நீண்ட நீளமுடைய பக்கம்)
ஓடும் நீளம் = செம்பக்கத்திட்கு அடுத்ததாக நீளமாயுள்ள பக்கம்
குன்றம் = முக்கோணத்தின் மிகச்சிறிய நீளமுடைய பக்கம்


தரப்பட்டுள்ள உதாரணத்தின்படி பக்க நீளங்கள் (3, 4, 5) கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில்:
ஓடும் நீளம், a = 4
குன்றம், b = 3

"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
c= (a - a/8) + (b/2)
= 4-(4/8) + (3/2)
= 5
கர்ணம், c= 5.

இந்த ஒரு உதாரணத்தை (அல்லது இவ்விலக்கங்களின் மடங்குகளான (6,8,10), (9,12,15) போன்ற எண்கூட்டங்களை) மட்டும் அடிப்படையாகக்கொண்டு இதனைத் தேற்றமென்று கூறப்படுகின்றது.


இப்போது "போதையனார் தேற்றத்தின்" உண்மைத்தன்மையினை மற்றைய பைதகரஸ் எண் கூட்டங்களிட்கும் பார்ப்போம்.


(5,12,13)

ஓடும் நீளம், a = 12
குன்றம், b = 5

"போதையனார் தேற்றத்தின்படி"
c= (a - a/8) + (b/2)
= 12-(12/8) + (5/2)
= 13
கர்ணம், c= 13.

இந்த உதாரணமும் சரி வருகின்றது.


(7,24,25)

ஓடும் நீளம், a = 24
குன்றம், b = 7

"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
c= (a - a/8) + (b/2)
= 24-(24/8) + (7/2)
= 24.5
கர்ணம், c= 24.5 ≠ 25.

இங்கே "போதையனார் தேற்றம்" தடுமாற ஆரம்பிக்கின்றது.


(8,15,17)

ஓடும் நீளம், a = 15
குன்றம், b = 8

"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
c= (a - a/8) + (b/2)
= 15-(15/8) + (8/2)
= 17.125
கர்ணம், c= 17.125 ≠ 17.

இதற்கப்பால் எல்லாமே தப்பான முடிவுகள்தான். அதனைவிட கர்ணமானது ஓடும்நீளத்தினை விட சிறிதான இலக்கமாக வருவதும் குறிப்பிடத்தக்கது.


(9,40,41)
"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
கர்ணம், c= 39.5 ≠ 41 (அத்துடன் 39.5 < 40).


(11,60,61)
"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
கர்ணம், c= 58 ≠ 61 (அத்துடன் 58 < 60).


(12,35,37)
"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
கர்ணம், c= 36.625 ≠ 37.


(13,84,85)
"போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
கர்ணம், c= 80 ≠ 85 (அத்துடன் 80 < 84).

இப்படியே (15,112,113), (16,63,65), (17,144,145), (19,180,181), (20,21,29), (20,99,101), (21,220,221), (23,264,265), ...... போன்ற இலக்கங்களுக்கும் தொடர்கின்றது துல்லியமற்ற முடிவுகள். ஆக மொத்தத்தில் போதையனார் கூறியது இரண்டு சந்தர்ப்பங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் ஒரு கூற்று. "தேற்றம்" கிடையாது. ஆக மொத்தத்தில் ஒரு செம்பக்க முக்கோணத்திற்கு பைதகரஸ் தேற்றத்திற்கு பதிலாக "போதையனார் தேற்றத்தினை"ப் பயன்படுத்தினால் பெறப்படும் விடைகளானது மேற்குறிப்பிட்ட இரண்டு சந்தர்ப்பக்கங்கள் (3,4,5), (5,12,13) (அல்லது அவற்றின் மடங்குகள்) தவிர்ந்த அனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும் துல்லியமற்ற முடிவுகளாகவே இருக்கும்.




9 comments:

  1. இது தேற்றம் அல்ல. ஆனால் வர்க்க மூலம் இல்லாமல் மிக நெருங்கிய மதிப்புகளை தருகிறது. மிகத் துரிதமான முறை இல்லை என்றாலும் பல சந்தர்பங்களில் பயன்படுத்தும் பயனுள்ள முறைதான்.

    ReplyDelete
    Replies
    1. வருகைக்கும் பின்னூட்டத்திற்கும் நன்றி நண்பரே. உங்கள் கருத்துடன் ஓரளவிற்கு மட்டுமே உடன்பட முடிகிறது.
      போதையனார் கூற்றின்படி கர்ணத்தினை (செம்பக்கத்தினை) அண்ணளவாகக் கணிப்பிட முடியும் என்று கூறுவது ஓரளவிற்கு மட்டுமே சரியானது.

      (3 , 4 , 5 ), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29) (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97), .... போன்ற முப்பதிற்கும் மேற்பட்ட பைதகரஸ் எண் கூட்டங்களிட்கு போதையனார் கூற்றினைப் பயன்படுத்திய போது பெரும்பாலும் கர்ணமானது ஓடும் நீளத்தினைவிட சிறிதாக இருப்பதான முடிவுகளே பெறப்பட்டது. இது திருகோணகணித அடிப்படைகளிட்கு முற்றிலும் முரணானது.

      ஏனெனில் ஒரு முக்கோணியில் மிகப்பெரிய கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கமே மிகப்பெரிய பக்கமாகும்; அத்துடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணியில் விட 90° ஐ விடப் பெரிய இன்னுமொரு கோணம் இருக்க முடியாது. ஆக கர்ணமானது மற்றைய இரு பக்கங்களினையும் விட நீண்டதாக மட்டுமே இருக்க முடியும்.

      Delete
  2. Its really a nice post. and a good discussion to understand.
    Thanks,
    Krishna

    ReplyDelete
  3. 3:4:5 என்ற விகிதத்தில் உள்ள முக்கோணங்கள் எல்லாம் செங்கோண முக்கோணங்கள் என்பதைப் பழங்காலக் கட்டிடக் கலைஞர்கள் அறிந்திருந்தனர். இது தச்சரின் முக்கோணம் அல்லது எகிப்திய முக்கோணம் எனப்படும். இந்த முக்கோணத்தைப் பற்றித்தான் போதையனார் சொன்னார்.

    தச்சர் முக்கோணத்துக்கும் பித்தாகரஸின் முக்கோணங்களுக்கும் உள்ள தொடர்பை ஜார்ஜ் கேமாவ் எழுதி நான் தமிழாக்கிய 'ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, முடிவிலி' (https://docs.google.com/open?id=0BzwpbxABzaV5SElZSVV1T1ptZUU) என்ற நூலில் காணலாம்.

    ReplyDelete
  4. தகவலுக்கு நன்றி. உங்கள் புத்தகத்தின் சில பக்கங்களை வாசித்தேன் (மிகுதியை விரைவில் வாசித்துவிடுவேன்). அருமையான தகவல்களைத் தொகுத்திருக்கிறீர்கள். சில தகவல்களுக்கு மூலம் எதுவென்று குறிப்பிட்டிருந்தால் நன்றாயிருந்திருக்கும் என்பது எனது தாழ்மையான கருத்து (உதாரணத்திற்கு அண்டத்திலுள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கை 3*10^74 என்பதற்கான ஆதாரம்).
    நீங்கள் கூறியது போல போதையனார் குறிப்பிடுவது 3:4:5 என்ற விகிதத்தில் பக்க நீளங்களுள்ள முக்கோணங்களுக்கு பொருத்தமானது. ஆனால் இதனை செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் பொருந்தும் ஒரு தேற்றம் (அல்லது பைதகரஸ் தேற்றமே தேவையில்லை) என்று கூறுவது தவறு என்பதே எனது பதிவிற்கான காரணம்.

    ReplyDelete
    Replies
    1. பாராட்டுக்கு நன்றி! ஆனால் அந்த நூல் நான் எழுதியது இல்லை. மொழிபெயர்புக்கு உண்டான பாராட்டு மட்டுமே எனக்குரியது. உங்கள் பதிவை நான் மிகவும் விரும்பினேன். விவரமான கணக்குகளால் உங்கள் நோக்கை விளக்கியிருக்கிறீர்கள். போதையனார் சொன்னதை பித்தாகரஸ் தேற்றமாகப் புறநீட்டுவது தவறு என்பதைப் பல தமிழ்விரும்பிகள் இப்போது புரிந்துகொண்டிருப்பார்கள்.

      Delete
    2. எனக்கென்னவோ அதனை வெறும் மொழிபெயர்ப்பாக மட்டும் பார்க்க முடியவில்லை. இலாவகமான உங்கள் எழுத்து நடையையும் உங்களது இப்பதிலையும் பார்க்கும் போது கம்பரின் அவையடக்கம்தான் ஞாபகத்திற்கு வருகிறது. இன்னமும் நிறைய எழுதுங்கள். தமிழில் இப்படியான ஆக்கங்கள் நிறையத் தேவைப்படுகின்றன.

      Delete
    3. மீண்டும் நன்றி! நான் எழுதிய இன்னொரு நூல்: https://docs.google.com/file/d/0BzwpbxABzaV5MHotLVVKal9xYUE

      Delete